Brachistochrone -kurvan: 18 steg (med bilder)

2024 Författare: John Day | [email protected]. Senast ändrad: 2024-01-30 12:42

Brachistochron -kurvan är ett klassiskt fysikproblem som härleder den snabbaste vägen mellan två punkter A och B som är på olika höjder. Även om detta problem kan verka enkelt erbjuder det ett kontraintuitivt resultat och är därför fascinerande att titta på. I dessa instruktioner kommer man att lära sig om det teoretiska problemet, utveckla lösningen och slutligen bygga en modell som visar egenskaperna hos denna fantastiska fysikprincip.

Detta projekt är utformat för gymnasieelever att göra när de täcker relaterade koncept i teoriklasser. Detta praktiska projekt stärker inte bara deras grepp om ämnet utan erbjuder också en syntes av flera andra områden att utveckla. Till exempel när de bygger modellen kommer eleverna att lära sig om optik genom Snells lag, datorprogrammering, 3d -modellering, digital frasering och grundläggande färdigheter i träbearbetning. Detta gör att en hel klass kan bidra med att dela arbetet mellan sig, vilket gör det till ett lagarbete. Tiden som krävs för att göra detta projekt är cirka en vecka och kan sedan demonstreras för klassen eller för yngre elever.

Det finns inget bättre sätt att lära sig än genom STEM, så fortsätt att skapa din egen fungerande brachistokronmodell. Om du gillar projektet, rösta på det i klassrumstävlingen.

Steg 1: Teoretiskt problem

Brachistochron -problemet är ett som kretsar kring att hitta en kurva som förenar två punkter A och B som befinner sig i olika höjder, så att B inte är direkt under A, så att tappning av en marmor under påverkan av ett enhetligt gravitationsfält längs denna väg kommer att nå B så snabbt som möjligt. Problemet uppstod av Johann Bernoulli 1696.

När Johann Bernoulli frågade problemet med brachistochronen, i juni 1696, till läsarna av Acta Eruditorum, som var en av de första vetenskapliga tidskrifterna i de tysktalande länderna i Europa, fick han svar från 5 matematiker: Isaac Newton, Jakob Bernoulli, Gottfried Leibniz, Ehrenfried Walther von Tschirnhaus och Guillaume de l'Hôpital som alla har unika tillvägagångssätt!

Varning: följande steg innehåller svaret och avslöjar skönheten bakom denna snabbaste väg. Ta en stund att tänka på det här problemet, kanske du kan knäcka det precis som ett av dessa fem genier.

Steg 2: Använda Snells lag för att demonstrera

Ett av tillvägagångssätten för att lösa brachistokronproblemet är att ta itu med problemet genom att dra analogier med Snells lag. Snells lag används för att beskriva den väg som en ljusstråle skulle följa för att komma från en punkt till en annan under övergången genom två olika medier, med hjälp av Fermats princip, som säger att en ljusstråle alltid tar den snabbaste vägen. En formell härledning av denna ekvation kan hittas genom att besöka följande länk.

Eftersom ett fritt fallande föremål under påverkan av gravitationsfältet kan jämföras med en ljusstråle som övergår genom föränderliga medier, blir strålen något avvikande varje gång ljusstrålen möter ett nytt medium. Vinkeln på denna avvikelse kan beräknas med hjälp av Snells lag. När man fortsätter att lägga till lager med reducerande densiteter framför den avvikna ljusstrålen, tills strålen når den kritiska vinkeln, där strålen helt enkelt reflekteras, beskriver strålens bana brachistokronkurvan. (den röda kurvan i diagrammet ovan)

Brachistochron -kurvan är faktiskt en cykloid som är kurvan som spåras av en punkt på kanten av ett cirkulärt hjul när hjulet rullar längs en rak linje utan att glida. Så om vi behöver rita kurvan kan vi helt enkelt använda metoden ovan för att generera den. En annan unik egenskap hos kurvan är att en boll som släpps från valfri punkt i kurvan kommer att ta exakt samma tid att nå botten. Följande steg beskriver processen för att göra ett klassrumsexperiment genom att konstruera en modell.

Steg 3: Praktisk experimentmodell

Modellen består av laserskärningsvägar som fungerar som spår för marmor. För att visa att brachistokronkurvan är den snabbaste vägen från punkt A till B bestämde vi oss för att jämföra den med två andra vägar. Eftersom ganska många människor intuitivt skulle känna att den kortaste delen är den snabbaste bestämde vi oss för att sätta en rak lutning som förbinder båda punkterna som den andra vägen. Den tredje är en brant kurva, eftersom man skulle känna att det plötsliga fallet skulle generera tillräckligt med hastighet för att slå resten.

Det andra experimentet där bollarna släpps från olika höjder på tre brachistochronbanor, resulterar i att bollarna når samtidigt. Således har vår modell 3D -tryckta guider som ger enkel utbytbarhet mellan akrylpanelerna som låter utföra båda experimenten.

Slutligen säkerställer frigöringsmekanismen att bollarna tappas ihop och tidsmodulen längst ner registrerar tidpunkterna när bollarna når botten. För att uppnå detta har vi inbäddat tre gränslägesbrytare som aktiveras när bollarna utlöser det.

Obs: Man kan helt enkelt kopiera denna design och göra den av kartong eller annat material som är lättillgängligt

Steg 4: Material som behövs

Här är delar och tillbehör för att göra en fungerande modell av brachistochron -experimentet

HARDWARE:

1 "Pine Wood Plank - mått; 100 cm x 10 cm

Neodym Magnetx 4 - mått; 1 cm dia och 0,5 cm i höjd

3D-utskriftsfilament- PLA eller ABS är bra

M3 gängad insats x 8 - (tillval)

M3 bult x 8 - 2,5 cm lång

Träskruv x 3 - 6 cm lång

Trä Screwx 12 - 2,5 cm långt

ELEKTRONIK:

Arduino Uno

Limit Switchx 4- dessa omkopplare fungerar som tidtagningssystem

Tryckknapp

LCD skärm

Jumpwire x många

Den totala kostnaden för modellen uppgick till cirka 3 0 $

Steg 5: 3D -utskrift

Flera delar som frigöringsmekanismen och kontrollboxen gjordes med hjälp av en 3d -skrivare. Följande lista innehåller det totala antalet delar och deras utskriftsspecifikationer. Alla STL -filer finns i en mapp som bifogas ovan, så att en kan göra nödvändiga ändringar om det behövs.

Kontrollbox x 1, 20% fyllning

Guide x 6, 30% fyllning

Slutstopp x 1, 20% fyllning

Svängarm x 1, 20% fyllning

Vridfäste x 1, 30% fyllning

Släpp bit x 1, 20% fyllning

Delarna trycktes i PLA eftersom det inte är någon speciell stress som påverkar bitarna. Totalt tog det cirka 40 timmars utskrift.

Steg 6: Laserskärning av banorna

De olika vägar som vi designade på fusion 360 exporterades som.dxf-filer och sedan laserskurna. Vi valde ogenomskinlig vit akryl med en tjocklek av 3 mm för att göra kurvorna. Man kan till och med göra det av trä med handverktyg men det är viktigt att se till att det valda materialet är styvt eftersom flexibilitet kan påverka hur bollarna rullar ner.

6 x Brachistochrone Curve

2 x brant kurva

2 x rak kurva

Steg 7: Skärning av veden

Modellens ram är gjord av trä. Vi valde 1 "av 4" tall eftersom vi hade en del kvar från ett tidigare projekt, även om man kan använda en ved efter eget val. Med en cirkelsåg och en guide skär vi två träbitar i längd:

48cm vilket är banans längd

31 cm vilket är höjden

Vi rensade upp de grova kanterna genom att slipa det lätt på skivslipmaskinen.

Steg 8: Borra hålen

Innan du skruvar ihop de två bitarna markerar du träets tjocklek i ena änden av bottenstycket och centrerar tre lika långa hål. Vi använde en 5 mm borr för att skapa ett pilothål på båda träbitarna och försänkte hålet på botten så att skruvhuvudet kunde köras i spol.

Obs: Var försiktig så att du inte delar den vertikala träbiten, eftersom en kommer att borra i ändkornet. Använd också långa träskruvar eftersom det är viktigt att ramen inte skakar och toppen på grund av hävstången.

Steg 9: Inbädda kylflänsarna och magneterna

Eftersom trådarna i 3d-tryckta delar tenderar att slits ut med tiden bestämde vi oss för att bädda in kylflänsar. Hålen är något underdimensionerade så att kylflänsen bättre greppar plasten. Vi placerade M3 kylflänsar över hålen och tryckte in dem med spetsen på ett lödkolv. Värmen smälter plasten och låter tänderna kila in sig. Se till att de ligger i linje med ytan och har gått in vinkelrätt. Totalt finns det 8 platser för de gängade insatserna: 4 för locket och 4 för att montera Arduino Uno.

För att underlätta montering av tidsenheten har vi bäddat in magneter i lådan, vilket gör det enkelt att ta loss om det någonsin krävs förändringar. Magneterna måste orientera samma riktning innan de trycks på plats. S

Steg 10: Ansluta gränslägesbrytarna

De tre gränslägesbrytarna är fästa på ena sidan av tidtagningsenheten som vetter mot banornas botten. Således när bollarna klickar på omkopplarna kan man avgöra vilken boll som nådde först och visa tidpunkten på en LCD -display. Löd på små trådremsor till terminalerna och fäst dem i spåren med en klick CA -lim eftersom de inte ska lossna efter kontinuerliga slag.

Steg 11: LCD -skärm

Locket på tidsenheten har en rektangulär utskärning för LCD -skärmen och ett hål för "start" -knappen. Vi säkrade skärmen med klister av varmt lim tills det spolade med lockets yta och fixade den röda knappen med dess monteringsmutter.

Steg 12: Anslutning av elektroniken

Ledningarna består av att ansluta de olika komponenterna till de högra stiften på Arduino. Följ kopplingsschemat ovan för att ställa in rutan.

Steg 13: Ladda upp koden

Arduino -koden för brachistochron -projektet finns bifogad nedan. Det finns två öppningar i elektronikfacket för enkel åtkomst till Arduinos programmeringsport och för strömuttaget.

Den röda knappen som sitter ovanpå rutan används för att starta timern. När marmorerna rullar ner kurvorna och utlöser gränslägesbrytarna, som placeras längst ner, registreras tidpunkterna sekventiellt. Efter att alla tre bollarna träffat visar LCD -skärmen resultaten i linje med respektive kurvor (bilderna bifogade ovan). När du har noterat resultaten om en andra läsning krävs, tryck helt enkelt på huvudknappen igen för att uppdatera timern och upprepa samma process.

Steg 14: 3D -utskriftsguiderna

Guiderna som var 3D -tryckta hade en 3 mm materialbas innan stödväggarna började. Därför när akrylpanelerna skulle glidas på plats skulle det finnas ett gap mellan panelen och träramen, vilket minskar banans stabilitet.

Därför behövde guiden läggas in 3 mm i träet. Eftersom vi inte hade en router tog vi den till en lokal verkstad och gjorde den på en fräs. Efter lite slipning passade trycken fast och vi kunde säkra det med träskruvar från sidan. Bifogad ovan är en mall för placering av de 6 guiderna på träramen.

Steg 15: Lägga till proppen och tidsenheten

Eftersom tidtagningsmodulen var ett separat system bestämde vi oss för att göra ett snabbt monterings- och lossningssystem med hjälp av magneter. På detta sätt kan man enkelt programmera det kan helt enkelt ta ut enheten. Istället för att göra en mall för att överföra positionen för magneterna som behöver bäddas in i träet låter vi dem helt enkelt ansluta till dem på lådan och lägger sedan lite lim och placerar lådan på träbiten. Limmärkena överfördes till träet så att vi snabbt kunde borra hålen på de exakta platserna. Slutligen fäst den 3d -tryckta proppen och tidtagarenheten ska sitta tätt och ändå kunna lossna med ett litet drag

Steg 16: Release Mechanism

Frigöringsmekanismen är enkel. Använd en mutter och en bult för att tätt ansluta C -sektionen till svängarmen, vilket gör dem till ett säkert stycke. Borra sedan två hål i mitten av det vertikala träet och fäst fästet. Dra en svängbar axel och mekanismen är klar.

Steg 17: Experimentet

Nu när modellen är klar kan man göra följande experiment

Experiment 1

Skjut försiktigt in akrylpanelerna i den raka banan, brachistochron -kurvan och den branta vägen (i denna ordning för bästa effekt). Dra sedan spärren uppåt och placera de tre bollarna på toppen av kurvan och se till att de är helt i linje med varandra. Håll dem ordentligt på plats med spärren nedåt. Låt en elev släppa bollarna och en annan tryck på den röda knappen för att starta tidssystemet. Slutligen observera att bollarna rullar nerför banan och analyserar resultaten som visas på tidsmodulen. Att sätta upp en kamera för att spela in slowmotion är ännu mer spännande eftersom man kan se loppet bildruta för bild.

Experiment 2

Liksom den tidigare experimentgliden i akrylpanelerna men den här gången måste alla vägar vara brachistonchron -kurvan. Be försiktigt en elev att hålla de tre bollarna på olika höjder den här gången och tryck på den röda knappen när bollarna släpps. Titta på det häpnadsväckande ögonblicket när bollarna ställer sig perfekt före mållinjen och bekräfta observationerna med resultaten.

Steg 18: Slutsats

Tillverkningen av brachistochron-modellen är ett praktiskt sätt att se de magiska sätten som vetenskapen fungerar på. Experimenten är inte bara roliga att titta på och engagerande, utan också en syntes av inlärningsaspekter. Även om det främst är ett projekt avsett för gymnasieelever, både praktiskt och teoretiskt, kan denna demonstration lätt förstås av yngre barn och kan visas som en förenklad presentation.

Vi vill uppmuntra människor att göra saker, vare sig det är en framgång eller ett misslyckande, för i slutändan är STEM alltid kul! Glad att göra!

Släpp en röst i klassrumstävlingen om du gillade instruktionerna och lämna din feedback i kommentarsfältet.

Stora priset i klassrummet Science Contest