Gaussian och Parabola för att studera LED -ljusflöden från en experimentlampa: 6 steg

2024 Författare: John Day | [email protected]. Senast ändrad: 2024-01-30 12:37

Hej till alla tillverkare och till det livliga samhället Instructable.

Den här gången kommer Merenel Research att ge dig ett rent forskningsproblem och ett sätt att lösa det med matte.

Jag hade detta problem själv när jag beräknade LED -flödet på en RGB LED -lampa jag byggde (och som jag kommer att lära mig att bygga). Efter att ha letat mycket på nätet hittade jag inget svar, så här lägger jag ut lösningen.

PROBLEMET

Mycket ofta i fysiken måste vi hantera kurvor som har formen av den gaussiska fördelningen. ja! Det är den klockformade kurvan som används för att beräkna sannolikhet och kom till oss från den store matematikern Gauss.

Gauss -kurvan används i stor utsträckning i fysiska tillämpningar i verkliga livet, särskilt när vi måste hantera strålning som sprids från en källa eller tas emot från en mottagare, till exempel:

- utsläpp av kraften hos en radiosignal (t.ex. Wi-Fi);

- ljusflödet från en LED;

- läsning av en fotodiod.

I tillverkarens datablad ges vi ofta det verkliga värdet av Gaussian -området, vilket skulle vara den totala strålningseffekten eller ljusflödet i en viss del av spektrumet (t.ex. av en LED), men det blir svårt att beräkna den faktiska strålningen avges vid kurvens topp eller ännu svårare att känna till överlappande strålning från två nära källor, till exempel om vi belyser med mer än en LED (t.ex. blå och grön).

I detta instruerbara papper kommer jag att förklara dig hur du approximerar Gaussian med en kurva som är lättare att förstå: en parabel. Jag kommer att svara på frågan: hur många gaussiska kurvor finns i en parabel?

SPOILER → SVARET ÄR:

Gaussområdet är alltid 1 enhet.

Arean på motsvarande parabel med samma bas och höjd är 2,13 gånger större än det relativa gaussiska området (se bilden för den grafiska demonstrationen).

Så en Gauss är 46,94% av dess parabel och detta förhållande är alltid sant.

Dessa två tal är relaterade på detta sätt 0.46948 = 1/2.13, detta är det strikta matematiska sambandet mellan en gaussisk kurva och dess parabel och vice versa.

I den här guiden leder jag dig att upptäcka detta steg för steg.

Det enda instrument vi behöver är Geogebra.org, ett bra matematiskt verktyg för att rita diagram.

Geogebra -diagrammet som jag gjorde för att jämföra en parabel med en Gaussian finns på denna länk.

Detta instruerbara är långt eftersom det handlar om en demonstration, men om du snabbt måste reda ut samma problem som jag hade med LED -ljusflöden eller annat fenomen med överlappande Gauss -kurvor, hoppa bara på kalkylbladet som du hittar bifogat vid steget 5 i den här guiden, som kommer att göra ditt liv enklare och automatiskt göra alla beräkningar för dig.

Jag hoppas att du gillar tillämpad matte eftersom den här instruerbara handlar om det.

Steg 1: Förstå ljus från en monokromatisk lysdiod

I denna analys kommer jag att överväga en serie färgade LED, som du tydligt ser från deras spektrumschema (första bilden) ser deras spektraleffektfördelning verkligen ut som en Gaussian som konvergerar till x -axeln vid -33 och +33nm av medelvärdet (tillverkare ger vanligtvis denna specifikation). Tänk dock på att representationen av detta diagram normaliserar alla spektra på en enda kraftenhet, men lysdioder har olika effekt beroende på hur effektivt de tillverkas och hur mycket elektrisk ström (mA) du matar in i dem.

Som du kan se överlappar ljusflödet av två LED -lampor ibland spektrumet. Låt oss säga att jag enkelt vill beräkna det överlappande området för dessa kurvor, för i det området kommer det att finnas den dubbla mängden effekt och jag vill veta hur mycket effekt i lumen (lm) vi har där, det är väl inte det en enkel uppgift vi försöker svara på i den här guiden. Problemet uppstod för när jag byggde den experimentella lampan ville jag verkligen veta hur mycket det blå och gröna spektrumet överlappade.

Vi kommer bara att fokusera på monokromatiska lysdioder som är de som avger vid en smal del av spektrumet. I diagrammet: ROYAL BLUE, BLUE, GREEN, ORANGE-RED, RED. (Den faktiska lampan jag bygger är RGB)

FYSIKSBAKGRUND

Låt oss spola tillbaka lite och göra lite fysikförklaringar först.

Varje lysdiod har en färg, eller mer vetenskapligt skulle vi säga att den har en våglängd (λ) som bestämmer den och som mäts i nanometer (nm) och λ = 1/f, där f är fotons oscillationsfrekvens.

Så det vi kallar RÖDT är i grunden ett (stort) gäng fotoner som oscillerar vid 630 nm, de fotonerna träffar saken och studsar i våra ögon, som fungerar som receptorer, och sedan bearbetar din hjärna objektets färg som RÖD; eller fotonerna kunde gå direkt in i dina ögon och du skulle se lysdioden som avger dem lyser i RÖD färg.

Det upptäcktes att det vi kallar ljus faktiskt bara är en liten del av det elektromagnetiska spektrumet, mellan 380nm och 740nm; så ljus är en elektromagnetisk våg. Det som är nyfiket om den delen av spektrumet är att det är just biten av spektrumet som lättare passerar genom vatten. Gissa vad? Våra uråldriga förfäder från ursoppan var faktiskt i vatten, och det var i vattnet där de första, mer komplexa, levande varelserna började utveckla ögon. Jag föreslår att du tittar på videon av Kurzgesagt som jag har bifogat för att bättre förstå vad som är ljus.

Sammanfattningsvis avger en LED ljus, vilket är en viss mängd radiometrisk effekt (mW) vid en viss våglängd (nm).

Vanligtvis, när vi har att göra med synligt ljus talar vi inte om radiometrisk effekt (mW) utan om ljusflöde (lm), som är en måttenhet som vägs vid svaret på synligt ljus i människors ögon, härleds från candela måttenhet, och den mäts i lumen (lm). I denna presentation kommer vi att överväga de lumen som avges från lysdioder men allt kommer att gälla för mW exakt i samma utsträckning.

I alla LED -datablad ger tillverkaren dig dessa bitar av information:

Till exempel från det här databladet bifogat ser du att om du driver båda led med 100mA har du det:

BLÅ är på 480nm och har 11lm ljusflöde;

GRÖN är på 530 nm och har 35 lm ljusflöde.

Det betyder att Gaussian Curve of Blue kommer att bli högre, det kommer att öka mer utan att ändra i dess bredd och det kommer att svänga runt den del som avgränsas av den blå linjen. I det här dokumentet kommer jag att förklara hur man beräknar höjden på Gaussian som uttrycker den fulla toppeffekten som avges av lysdioden, inte bara effekten som avges i den delen av spektrumet, tyvärr kommer det värdet att vara lägre. Dessutom kommer jag att försöka approximera den överlappande delen av de två lysdioderna för att förstå hur mycket ljusflöde som överlappar varandra när vi har att göra med lysdioder som är "grannar" i spektrumet.

Att mäta flödet av lysdioder är en mycket komplex fråga, om du är ivrig efter att veta mer har jag laddat upp ett detaljerat papper av Osram som förklarar hur saker görs.

Steg 2: Introduktion till Parabolen

Jag kommer inte att gå in på mycket detaljer om vad som är en parabel, eftersom det studeras omfattande i skolan.

En ekvation av en parabel kan skrivas i följande form:

y = ax^2+bx+c

ARCHIMEDES HJÄLPER OSS

Det jag skulle vilja understryka är en viktig geometrisk sats av Archimedes. Vad satsen säger är att ytan på en parabel som är begränsad i en rektangel är lika med 2/3 av rektangelområdet. På den första bilden med parabolen kan du se att det blå området är 2/3 och de rosa områdena är 1/3 av rektangelns yta.

Vi kan beräkna parabolen och dess ekvation genom att känna till tre punkter i parabolen. I vårt fall kommer vi att beräkna toppunkten och vi känner till skärningspunkterna med x -axeln. Till exempel:

BLÅ LED Vertex (480,?) Toppunktets Y är lika med ljusstyrkan som avges vid toppvåglängden. För att beräkna det kommer vi att använda förhållandet som finns mellan arean hos en Gauss (faktiskt flöde som avges av lysdioden) och en av en parabel och vi kommer att använda Archimedes sats för att veta höjden på rektangeln som innehåller den parabolen.

x1 (447, 0)

x2 (513, 0)

PARABOLISK MODELL

När jag tittar på bilden som jag har laddat upp kan du se en komplex modell för att representera med parabolor flera olika LED -ljusflöden, men vi vet att deras representation inte är exakt den eftersom den liknar mer en Gauss.

Men med paraboler, med hjälp av matematiska formler kan vi hitta alla skärningspunkter för flera paraboler och beräkna de skärande områdena.

I steg 5 har jag bifogat ett kalkylblad där jag har lagt alla formler för att beräkna alla parabolerna och deras skärande områden på de monokromatiska lysdioderna.

Vanligtvis är basen på Gaussian för en LED stor 66nm, så om vi känner till den dominerande våglängden och vi närmar oss LED-strålningen med en parabel vet vi att den relativa parabolen kommer att skär x-axeln i λ+33 och λ-33.

Detta är en modell som approximerar ett totalt LED -utsläppt ljus med parabel. Men vi vet att om vi vill vara exakta är det inte riktigt rätt, vi skulle behöva använda en Gauss -kurva, vilket tar oss till nästa steg.

Steg 3: Introduktion till Gaussiska kurvan

En Gauss är det en kurva som kommer att låta mer komplex än en parabel. Det uppfanns av Gauss för att tolka fel. Faktum är att denna kurva är mycket användbar för att se den sannolika fördelningen av ett fenomen. Så långt vi rör oss mot vänster eller höger från medelvärdet har vi ett visst fenomen som är mindre frekvent och som du kan se från den sista bilden är denna kurva en mycket bra approximation av verkliga händelser.

Den gaussiska formeln är den läskiga som du ser som andra bilden.

De gaussiska egenskaperna är:

- det är symmetrisk respekt för medelvärdet;

- x = μ sammanfaller inte bara med det aritmetiska medelvärdet utan också med median och läge;

- det är asymptotiskt vid x -axeln på varje sida;

- det minskar för xμ;

- den har två böjpunkter i x = μ-σ;

- arean under kurvan är 1 enhet (det är sannolikheten att någon x skulle verifiera)

σ är standardavvikelsen, ju större tal desto bredare är den gaussiska basen (första bilden). Om ett värde är i 3σ -delen skulle vi veta att det verkligen rör sig bort från medelvärdet och det är mindre sannolikhet för att det ska hända.

I vårt fall, med lysdioder, känner vi till området för Gaussian som är ljusflödet som anges i tillverkarens datablad vid en given våglängdstopp (vilket är medelvärdet).

Steg 4: Demonstration med Geogebra

I det här avsnittet kommer jag att lära dig hur du använder Geogebra för att visa att en parabel är 2,19 gånger dess Gauss.

Först måste du skapa ett par variabler, klicka på skjutreglaget:

Standardavvikelsen σ = 0,1 (standardavvikelsen definierar hur bred Gauss -kurvan är, jag sätter ett litet värde eftersom jag ville göra det smalt för att simulera en LED -spektral effektfördelning)

Medelvärdet är 0 så Gaussian är byggd på y -axeln, där det är lättare att arbeta.

Klicka på småvågsfunktionen för att aktivera funktionsdelen; där genom att klicka på fx kan du infoga den gaussiska formeln och du kommer att dyka upp på skärmen en fin hög Gaussian Curve.

Grafiskt kommer du att se var kurvan konvergerar på x-axeln, i mitt fall i X1 (-0,4; 0) och X2 (+0,4; 0) och där toppunkten är i V (0; 4).

Med denna trepunkt har du tillräckligt med information för att hitta ekvationen för parabeln. Om du inte vill göra beräkningar för hand kan du använda denna webbplats eller kalkylbladet i nästa steg.

Använd funktionskommandot (fx) för att fylla i parabolfunktionen du just hittat:

y = -25x^2 +4

Nu måste vi förstå hur många gaussar som är i en parabel.

Du måste använda funktionskommandot och infoga kommandot Integral (eller Integrale i mitt fall, som jag använde den italienska versionen). Den bestämda integralen är den matematiska operationen som gör att vi kan beräkna ytan för en funktion definierad mellan x -värden. Om du inte kommer ihåg vad en bestämd integral är, läs här.

a = Integral (f, -0,4, +0,4)

Denna Geogebra -formel löser den definierade integralen mellan -0,4 och +0,4 för funktionen f, Gaussian. Eftersom vi har att göra med en Gauss är dess område 1.

Gör samma sak för parabolen och du kommer att upptäcka det magiska talet 2.13. Vilket är nyckelnumret för att göra alla ljusflödesomvandlingar med lysdioder.

Steg 5: Exempel på verkligheten med lysdioder: Beräkning av flödestoppen och de överlappande flödena

LJUSLIG FLUX PÅ HÖVET

Att beräkna den faktiska höjden på de omrörda gaussiska kurvorna för LED -flödesfördelningen, nu när vi har upptäckt konverteringsfaktorn 2.19, är mycket enkelt.

till exempel:

BLÅ LED har 11lm ljusflöde

- vi konverterar detta flöde från Gauss till parabol 11 x 2.19 = 24.09

- vi använder Archimedes sats för att beräkna det relativa rektangelområdet som innehåller parabolen 24,09 x 3/2 = 36,14

- vi hittar höjden på den rektangeln som delar sig för basen av Gaussian för den BLÅ LED: en, som anges i databladet eller ses på databladet, vanligtvis runt 66nm, och det är vår effekt vid toppen av 480nm: 36,14 / 66 = 0,55

ÖVERLAPPANDE LJUSLIGA FLUXOMRÅDEN

För att beräkna två överlappande strålning kommer jag att förklara med ett exempel med följande två lysdioder:

BLÅ är på 480nm och har 11lm ljusflöde GRÖN är på 530nm och har 35lm ljusflöde

Vi vet och vi ser från diagrammet att båda gaussiska kurvorna konvergerar i -33nm och +33nm, följaktligen vet vi att:

- BLÅ skär x -axeln i 447 nm och 531 nm

- GRÖN skär skär x -axeln i 497 nm och 563 nm

Vi ser tydligt att de två kurvorna skär varandra eftersom den ena änden av den första är efter början av den andra (531 nm> 497 nm) så att ljuset från dessa två lysdioder överlappar varandra på vissa punkter.

Vi måste först beräkna parabeln ekvation för båda. Det bifogade kalkylbladet är till för att hjälpa dig med beräkningar och har bäddat in formlerna för att lösa ekvationssystemet för att bestämma de två parabolerna som känner till x -axelns skärande punkter och hörnet:

BLÅ parabol: y = -0.0004889636025x^2 + 0.4694050584x -112.1247327

GRÖN parabel: y = -0.001555793281x^2 + 1.680256743x - 451.9750618

i båda fallen a> 0 och, så parabolen pekar korrekt upp och ner.

För att bevisa att dessa paraboler har rätt fyller du bara i a, b, c i hörnkalkylatorn på denna parabelkalkylatorwebbplats.

På kalkylbladet är alla beräkningar redan gjorda för att hitta skärningspunkterna mellan parabolerna och för att beräkna den bestämda integralen för att få de parabolas skärande områden.

I vårt fall är de skärande områdena med blå och gröna LED -spektra 0,4247.

När vi har de skärande parabolerna kan vi multiplicera detta nybildade skärande område för den gaussiska multiplikatorn 0.4694 och hitta en mycket nära approximation av hur mycket effekt LED -lamporna totalt avger tillsammans i den delen av spektrumet. För att hitta det enda LED -flödet som avges i det avsnittet, dela bara med 2.

Steg 6: Studien av de monokromatiska lysdioderna på experimentlampan är nu klar

Tja, tack så mycket för att du läste denna forskning. Jag hoppas att det kommer att vara användbart för dig att djupt förstå hur ljus avges från en lampa.

Jag studerade flödet av lysdioderna i en speciell lampa gjord med tre typer av monokromatiska lysdioder.

"Ingredienserna" för att göra denna lampa är:

- 3 LED BLU

- 4 LED GRÖN

- 3 LED RÖDA

- 3 motstånd för att begränsa strömmen i LED -kretsgrenarna

- 12V 35W strömförsörjning

- Präglad akrylhölje

- OSRAM OT BLE DIM -kontroll (Bluetooth LED -styrenhet)

- Kylfläns i aluminium

- M5 fetstil och muttrar och L -fästen

Kontrollera allt med Casambi APP från din smartphone, du kan slå på och dimma varje LED -kanal separat.

Att bygga lampan är väldigt enkelt:

- fäst lysdioden på kylflänsen med dubbelsidig tejp;

- Löd alla BLU LED i serie med ett motstånd, och gör samma sak med den andra färgen för varje gren av kretsen. Enligt lysdioderna du kommer att välja (jag använde Lumileds LED) måste du välja motståndsstorlek i förhållande till hur mycket ström du kommer att mata in i lysdioden och till den totala spänningen som ges av strömförsörjningen på 12V. Om du inte vet hur du gör detta föreslår jag att du läser denna fantastiska instruktion om hur man bestämmer storleken på ett motstånd för att begränsa strömmen för en serie lysdioder.

-anslut kablarna till varje kanal i Osram OT BLE: all huvudsaklig positiv av lysdiodernas grenar går till den gemensamma (+) och grenens tre negativ går till -B (blå) -G (grön) -R (röd).

- Koppla strömförsörjningen till ingången på Osram OT BLE.

Det som är coolt med Osram OT BLE är att du kan skapa scenarier och programmera LED -kanalerna, som du kan se i den första delen av videon jag dämpar de tre kanalerna och i den andra delen av videon använder jag några färdiga ljusscenarier.

SLUTSATSER

Jag har i stor utsträckning använt matte för att djupt förstå hur flödet av dessa lampor skulle sprida sig.

Jag hoppas verkligen att du har lärt dig något användbart idag och jag kommer att göra mitt bästa för att ta till lärbara fler fall av djupgående tillämpad forskning som den här.

Forskning är nyckeln!

Så länge!

Pietro